Proprietà della divisibilità. Un’attività con ChatGPT

Enunciato

Dimostra che, per ogni $a,b,c\in \mathbb{Z}$,

$$a\mid b\text{ e }a\mid c\Rightarrow a\mid (b+c)\mathrm{.}$$

Testo “da verificare” (dimostrazione con passaggio scorretto ma tipico)

Se $a\mid b$ e $a\mid c$, allora $\frac{b}{a}$ e $\frac{c}{a}$ sono interi.
Quindi $\frac{b}{a}+\frac{c}{a}$ è intero e vale $\frac{b+c}{a}$.
Dunque $\frac{b+c}{a}$ è intero e quindi $a\mid (b+c)$.

Questa dimostrazione è quasi corretta, ma spesso a livello liceale crea confusione su cosa significhi “essere intero” e su come giustificarlo in modo formale.

Consegna agli studenti

Chiedi di:

1. riscrivere la dimostrazione usando esplicitamente la definizione di divisibilità (“esiste un intero $k$ tale che…”);

2. indicare quali passaggi della versione proposta sono accettabili e quali andrebbero resi più rigorosi (ad esempio: “$\frac{b}{a}$ è intero” va tradotto in “$b=ak$”).

Prompt utile per ChatGPT (solo dopo la bozza degli studenti)

• “Riscrivi questa dimostrazione usando solo la definizione di $a\mid b$. Non usare teoremi avanzati.”

Soluzione corretta per il docente (molto pulita)

Se $a\mid b$, allora esiste $k\in \mathbb{Z}$ tale che $b=ak$.
Se $a\mid c$, allora esiste $h\in \mathbb{Z}$ tale che $c=ah$
Allora

$$b+c=ak+ah=a(k+h)\mathrm{}$$

Poiché $k+h\in \mathbb{Z}$, segue che $a\mid (b+c)$