Quando una scomposizione non è davvero una scomposizione

Scomporre significa riscrivere un polinomio come prodotto di fattori. Se il risultato finale è ancora una somma, o se moltiplicando i fattori non si torna al polinomio di partenza, la scomposizione non è corretta.

L’errore in tre varianti

Come si corregge

Variante 1: completare il raccoglimento. Per \(3x^2+7x+2\) si cercano due numeri con somma 7 e prodotto \(3\times 2 = 6\): sono 6 e 1. Si spezza il termine centrale e si raccoglie due volte.

\(\displaystyle 3x^2 + 6x + x + 2 = 3x(x+2) + 1\cdot(x+2) = (x+2)(3x+1)\)

Il passaggio decisivo è l’ultimo: il fattore comune \((x+2)\) si raccoglie, e solo allora il risultato è un prodotto.

Variante 2: leggere bene i segni. Per \(x^2-5x+6\) servono due numeri con somma \(-5\) e prodotto \(+6\). Il prodotto positivo dice che i numeri hanno lo stesso segno, la somma negativa dice che sono entrambi negativi: \(-2\) e \(-3\).

\(\displaystyle x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3)\)

Variante 3: somma e differenza di quadrati non sono la stessa cosa. \(x^2-9\) si scompone in \((x-3)(x+3)\), ma \(x^2+9\) non ha scomposizione nei reali, perché non esistono due numeri reali con somma 0 e prodotto 9.

Il doppio controllo di due minuti

1. Moltiplica i fattori ottenuti e confronta con il polinomio di partenza.
2. Fai una prova numerica: sostituisci lo stesso valore in entrambe le espressioni. Con \(x=1\), il polinomio \(x^2-5x+6\) vale 2, la scomposizione sbagliata \((x+2)(x+3)\) vale 12, quella corretta \((x-2)(x-3)\) vale 2.
3. Chiediti se il risultato è un prodotto e se qualche fattore si può ancora scomporre.

Una prova numerica che torna non dimostra la correttezza, ma una che non torna smaschera subito l’errore. Se si ha un dubbio conviene provare con due valori diversi.

Cinque esercizi con soluzioni

Suggerimento per il terzo: raccoglimento parziale a coppie, poi differenza di quadrati sul secondo fattore.