Breve excursus storico sulle equazioni di primo grado

Sia nelle tavolette degli antichi babilonesi che nei papiri dell’antico Egitto è possibile trovare degli esempi di equazioni di primo grado che venivano fuori dalla necessità di risolvere dei problemi legati alla realtà.

“una quantità sommata con la sua metà diventa 16”

che non vengono risolti mediante il classico formalismo che noi utilizzeremmo di fronte ad un tale problema, ma col metodo, allora noto, della “falsa posizione”. 

In base a tale metodo, non si indica col simbolo x il valore incognito, ma si parte da un valore particolare e, applicando delle opportune operazioni su di esso, si cerca di pervenire al risultato richiesto.

A titolo d’esempio si riporta la soluzione proposta sul Papiro di Rhind al problema sopra citato:

“Conta con 2. Allora (1+1/2) di 2 è 3. Quante volte 3 deve essere moltiplicato per dare 16, lo stesso numero di volte deve essere moltiplicato per dare il numero esatto. Allora dividi 16 con 3. Fa (5+1/3). Ora moltiplica (5+1/3) per 2. Fa (10+2/3). Hai fatto come occorre: la quantità è (10+2/3), la sua metà è (5+1/3), la loro somma è 16”.

Anche i matematici greci si sono imbattuti nella risoluzione di equazioni di primo grado affrontandole da un punto di vista geometrico. Infatti, Euclide (365 – 300 a. C.) nei suoi Elementi risolve le equazioni  ricercando la misura del secondo lato di un rettangolo avente un lato lungo a e area pari a b.

Sarà Diofanto, matematico greco vissuto nel III secolo d.C., a introdurre per primo il simbolo x per indicare l’incognita dando ad esso il nome di aritmos (= numero incognito). In questo modo si assiste al tramonto della fase retorica dell’algebra, in cui si utilizzava solo il linguaggio naturale e nessun simbolo.

Importante è stato il contributo apportato da Leonardo Pisano (1170 – 1250), detto Fibonacci, che s’inserisce nel processo di passaggio dal linguaggio naturale alla traduzione simbolica di un problema. Egli adopera il metodo geometrico utilizzato da Euclide e, nel suo Liber Abaci (1202), impiega le lettere per indicare i dati e le incognite di un problema. In questo modo si assiste alla nascita della fase sincopata dell’algebra che si avvale sempre del linguaggio naturale, ma adopera anche delle abbreviazioni per le incognite.

Con il matematico francese François Viète (1540 – 1603) si assiste al passaggio dalla fase sincopata alla fase simbolica. Egli introdusse la notazione simbolica nel suo In artem analyticam isagogé, pubblicato nel 1591, dimostrandone l’utilità.

Problemi proposti

  1. Una quantità, i suoi 2/3, la sua metà e la sua settima parte addizionate sono uguali a 194. Qual è la quantità? (Papiro di Rhind).
  2. Diofanto trascorse 1/6 della sua vita nell’infanzia,  1/12 nella giovinezza e  1/7 prima di sposarsi. Cinque anni dopo gli nacque un figlio che morì 4 anni prima della morte del padre, avendo la metà dell’età che il padre aveva quando morì. Quanti anni aveva Diofanto quando morì? (Antologia Palatina)
  3. Dice un giovane: << Oggi, se al triplo della mia età aggiungo 1/4 e 1/3 di quanto ho già vissuto, mi manca solo un anno per avere 100 anni >>. Qual è l’età del giovane? (Fibonacci, Liber Abaci)
  4. Un uomo compra quattro pezze di stoffa pagando complessivamente 80 bisanti. Quanto costano le singole pezze se la seconda costa i 2/3 della prima, la terza i ¾ della seconda e la quarta i 4/5 della terza? (Fibonacci, Liber Abaci)
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