Quinto anno · Liceo scientifico

Prima di studiare una funzione, scopri dove esiste.

Impara a determinare il dominio con una procedura stabile: riconosci la struttura → individua i vincoli → risolvi le condizioni → interseca → scrivi il dominio.

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10tipologie

95+esercizi

5passi chiave

Il dominio viene prima del grafico.Prima stabilisci quali valori di x sono ammessi; poi studi la funzione.

Il dominio non è una formula da ricordare. È un problema di compatibilità tra operazioni.

01 · Orientarsi

Classificazione delle funzioni

Riconoscere la famiglia di appartenenza è il primo passo per capire quali vincoli possono comparire.

y=f(x)

Funzioni algebriche

Ottenute con un numero finito di operazioni algebriche.

Razionali intere

y=P(x)

es.

y=x^3-2x+1

Razionali fratte

y=\dfrac{P(x)}{Q(x)}

es.

y=\dfrac{x+1}{x-3}

Irrazionali

y=\sqrt[n]{g(x)}

es.

y=\sqrt{x^2-4}

Funzioni trascendenti

Non si ottengono soltanto con operazioni algebriche finite.

Esponenziali

y=a^{g(x)}

a>0,\ a\ne1

Logaritmiche

y=\log_a(g(x))

argomento positivo

Goniometriche

y=\sin(g(x)),\quad y=\cos(g(x)),\quad y=\tan(g(x)),\quad y=\cot(g(x))

attenzione ai denominatori impliciti

Inverse

y=\arcsin(g(x)),\quad y=\arccos(g(x)),\quad y=\arctan(g(x))

vincoli sull'argomento

Attenzione alle funzioni composte. Una funzione può contenere più famiglie contemporaneamente. In quel caso i vincoli si accumulano e il dominio si ottiene tramite intersezione.

Esempio

\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\log(x+2)}

È contemporaneamente razionale fratta, irrazionale e logaritmica: dovrai imporre più condizioni.

Linguaggio

Dominio naturale: il più grande sottoinsieme di $\mathbb R$ in cui l'espressione che definisce $f$ ha significato reale.

\displaystyle D_f\subseteq\mathbb R

02 · Strategia

Il metodo universale in 5 passi

Usalo sempre, anche quando l'esercizio sembra immediato. Ti impedisce di dimenticare vincoli nascosti.

Scomponi la struttura

Individua frazioni, radici, logaritmi, funzioni goniometriche e composizioni.

Scrivi ogni vincolo

Un denominatore deve essere non nullo; un radicando di indice pari non negativo; un argomento logaritmico positivo.

Risolvi le condizioni

Trasforma i vincoli in equazioni o disequazioni e risolvili separatamente.

Interseca

Tutte le condizioni devono essere vere contemporaneamente: $D_f=D_1\cap D_2\cap\cdots$ .

Scrivi bene il risultato

Usa insiemi o intervalli e controlla estremi inclusi/esclusi.

Algoritmo mentaleDa ripetere ad ogni esercizio

Denominatore? $\ne0$

→

Radice pari? $\ge0$

→

Logaritmo? $>0$

→

\tan,\cot

?den. implicito $\ne0$

→

\arcsin,\arccos

? $[-1,1]$

Esempio guida

$\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{2x-1}}{x-3}$

Radice quadrata: $2x-1\ge0\Rightarrow x\ge \frac12$ .
Denominatore: $x-3\ne0\Rightarrow x\ne3$ .
Intersezione: $x\ge\frac12$ e $x\ne3$ .
Dominio: $\displaystyle D_f=\left[\frac12,3\right)\cup(3,+\infty)$ .

01Funzioni algebriche

Polinomiali

Il caso più semplice: somme e prodotti di potenze intere non negative di $x$ .

\boxed{D_f=\mathbb R}

Regola

Ogni polinomio

f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0

è definito per qualunque numero reale. Non compaiono operazioni che impongono restrizioni.

Errore tipico

Confondere gli zeri della funzione con valori esclusi dal dominio. Se $P(x)=0$ , la funzione continua ad essere perfettamente definita.

Esempio A

f(x)=3x^4-2x+7

$D_f=\mathbb R$

Esempio B

f(x)=(x-1)^5(x+2)

$D_f=\mathbb R$

02Funzioni algebriche

Razionali fratte

Il denominatore non può annullarsi.

\boxed{Q(x)\ne0}

Forma generale

\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}

con $P,Q$ polinomi e $Q\not\equiv0$ . Il dominio è

\displaystyle D_f=\mathbb R\setminus\{x:Q(x)=0\}

Semplificare non restituisce i punti esclusi

\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}=x+1\quad \text{solo per }x\ne1

La funzione iniziale resta non definita in $x=1$ , anche se il fattore si semplifica.

Esempio

$\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x^2-5x+6}$

$x^2-5x+6\ne0$
$(x-2)(x-3)\ne0$
$x\ne2,\ x\ne3$
$\displaystyle D_f=(-\infty,2)\cup(2,3)\cup(3,+\infty)$

03Funzioni algebriche irrazionali

Radicali

La parità dell'indice cambia completamente il vincolo.

\sqrt[2k]{g(x)}\Rightarrow g(x)\ge0

Indice pari

y=\sqrt[2k]{g(x)}

Serve $g(x)\ge0$ .

Indice dispari

y=\sqrt[2k+1]{g(x)}

Nessun vincolo dovuto alla radice: il radicando può essere qualunque reale.

Radice pari al denominatore

y=\frac{1}{\sqrt{g(x)}}

Serve $g(x)>0$ : lo zero va escluso perché annullerebbe il denominatore.

Esempio

$\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}$

Condizione: $\displaystyle \frac{x-1}{x+2}\ge0$ , con $x\ne-2$ .
Lo zero del denominatore è $-2$ , mentre lo zero del numeratore è $1$ .
Studio del segno: positivo per $x<-2$ e $x\ge1$ .
$\displaystyle D_f=(-\infty,-2)\cup[1,+\infty)$ .

04Funzioni trascendenti

Logaritmiche

L'argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo.

\boxed{g(x)>0}

Condizione di esistenza

y=\log_a(g(x))

con $a>0$ , $a\ne1$ . Per la variabile $x$ imponi sempre

\displaystyle g(x)>0

Se il logaritmo è al denominatore

y=\frac{1}{\log_a(g(x))}

Oltre a $g(x)>0$ , serve $\log_a(g(x))\ne0$ , quindi $g(x)\ne1$ .

Esempio

$\displaystyle f(x)=\log_2(x^2-5x+6)$

$x^2-5x+6>0$
$(x-2)(x-3)>0$
Prodotto positivo all'esterno degli zeri.
$\displaystyle D_f=(-\infty,2)\cup(3,+\infty)$

05Funzioni trascendenti

Esponenziali

L'esponenziale in sé non introduce restrizioni: conta il dominio dell'esponente.

\boxed{f(x)=a^{g(x)}\Rightarrow D_f=D_g}

Esponente reale

\displaystyle f(x)=a^{g(x)},\qquad a>0,\ a\ne1

Se $g(x)$ è definita, anche $f(x)=a^{g(x)}$ lo è. Quindi $D_f=D_g$ .

Non inventare vincoli

Non devi imporre $g(x)>0$ . Per esempio $2^{-3}$ esiste e vale $\frac18$ .

\displaystyle 2^x>0\quad \forall x\in\mathbb R

Esempio

$\displaystyle f(x)=e^{\frac{1}{x-4}}$

L'esponenziale non crea vincoli.
L'esponente $\frac1{x-4}$ richiede $x-4\ne0$ .
$\displaystyle D_f=\mathbb R\setminus\{4\}$ .

06Funzioni trascendenti

Goniometriche

$\sin$ e $\cos$ sono definite sempre; $\tan$ e $\cot$ hanno denominatori impliciti.

y=\tan u=\frac{\sin u}{\cos u}

$y=\sin(g(x))$ vincoli soltanto da

g(x)

$y=\cos(g(x))$ vincoli soltanto da

g(x)

$y=\tan(g(x))$

\cos(g(x))\ne0\Rightarrow g(x)\ne\frac\pi2+k\pi

$y=\cot(g(x))$

\sin(g(x))\ne0\Rightarrow g(x)\ne k\pi

Esempio

$\displaystyle f(x)=\tan(2x)$

$\cos(2x)\ne0$
$2x\ne\frac\pi2+k\pi$
$\displaystyle x\ne\frac\pi4+k\frac\pi2,\quad k\in\mathbb Z$
$\displaystyle D_f=\mathbb R\setminus\left\{\frac\pi4+k\frac\pi2:k\in\mathbb Z\right\}$

07Funzioni trascendenti

Goniometriche inverse

Qui il vincolo riguarda i valori ammessi come argomento.

y=\arcsin u\ \text{o}\ y=\arccos u\Rightarrow -1\le u\le1

Arcoseno

y=\arcsin(g(x))

$-1\le g(x)\le1$ .

Arcocoseno

y=\arccos(g(x))

$-1\le g(x)\le1$ .

Arcotangente

y=\arctan(g(x))

Nessun nuovo vincolo: conta soltanto $D_g$ .

Esempio

$\displaystyle f(x)=\arccos(2x-1)$

$-1\le2x-1\le1$
Sommo $1$ : $0\le2x\le2$
Divido per $2$ : $0\le x\le1$
$\displaystyle D_f=[0,1]$

08Strutture frequenti

Valore assoluto e funzioni definite a tratti

Il valore assoluto non restringe il dominio, ma ciò che contiene potrebbe farlo.

y=|g(x)|

Valore assoluto

$|u|$ è definito per ogni $u\in\mathbb R$ . Quindi

\displaystyle D_{|g|}=D_g

Esempio: $f(x)=\left|\frac1{x-2}\right|$ richiede comunque $x\ne2$ .

Funzioni a tratti

\displaystyle f(x)=\begin{cases}f_1(x)&x\in A\\ f_2(x)&x\in B\end{cases}

Il dominio è l'unione delle porzioni in cui ciascuna formula è definita rispettando il proprio intervallo.

09Caso delicato

Potenze $y=[f(x)]^{g(x)}$

Quando anche l'esponente dipende da $x$ , non basta guardare separatamente base ed esponente: occorre capire come viene definita la potenza reale.

\boxed{[f(x)]^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}}

Regola di riferimento per il liceo.

Se $g(x)$ può assumere valori reali arbitrari, per definire in modo continuo una potenza reale si usa $[f(x)]^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}.$ Pertanto bisogna imporre $x\in D_f\cap D_g$ e, in generale, $f(x)>0$ .

Esponente intero positivo

y=[f(x)]^n,\quad n\in\mathbb N

Non serve che la base sia positiva: basta che $f(x)$ sia definita.

Esponente intero negativo

y=[f(x)]^{-n}=\frac1{[f(x)]^n}

Oltre al dominio di $f$ , serve $f(x)\ne0$ .

Esponente razionale

y=[f(x)]^{p/q}

Con $p/q$ ridotta: se $q$ è pari occorre controllare il segno della base; se $q$ è dispari sono ammesse anche basi negative. Se l'esponente è negativo, la base non può essere zero.

Esempi a complessità crescente

dal riconoscimento immediato ai vincoli multipli

1 · Base

f(x)=x^x

Con esponente reale variabile imponiamo $x>0$ .

$D_f=(0,+\infty)$

2 · Base

f(x)=(x-3)^{\sqrt2}

$\sqrt2$ è irrazionale: per la potenza reale serve $x-3>0$ .

$D_f=(3,+\infty)$

3 · Intermedio

f(x)=(x-2)^{\sqrt{x+1}}

La base deve essere positiva e l'esponente deve esistere: $x>2$ e $x\ge-1$ . L'intersezione è $x>2$ .

$D_f=(2,+\infty)$

4 · Intermedio

f(x)=(x^2-4)^{\ln x}

Serve $x^2-4>0$ e $x>0$ . Da $x^2-4>0$ otteniamo $x<-2$ oppure $x>2$ ; intersecando con $x>0$ : $x>2$ .

$D_f=(2,+\infty)$

5 · Avanzato

f(x)=\left(\frac{x-1}{x+2}\right)^{\ln x}

Occorrono $x>0$ e $\frac{x-1}{x+2}>0$ . Il rapporto è positivo per $x<-2$ oppure $x>1$ ; resta soltanto $x>1$ .

$D_f=(1,+\infty)$

6 · Avanzato

f(x)=\left(\sqrt{x-1}-1\right)^{1/x}

Per la definizione generale serve $\sqrt{x-1}-1>0$ , quindi $x>2$ . Inoltre $1/x$ richiede $x\ne0$ , già soddisfatto.

$D_f=(2,+\infty)$

7 · Esperto

f(x)=\left(\ln(x-1)\right)^{\sqrt{x-2}}

Serve $\ln(x-1)>0\Rightarrow x>2$ ; l'esponente richiede $x\ge2$ . Quindi resta $x>2$ .

$D_f=(2,+\infty)$

8 · Esperto

f(x)=\left(\frac{\sqrt{x-1}}{x-3}\right)^{\ln(x-2)}

La base deve essere positiva, l'esponente definito. $x>2$ dal logaritmo; con $x>2$ , $\sqrt{x-1}>0$ , quindi la base è positiva solo per $x-3>0$ .

$D_f=(3,+\infty)$

Perché non diciamo semplicemente “base positiva” in ogni potenza? Perché

x^2

x^{-3}

x^{2/3}

f(x)=x^{\sqrt2}

non hanno lo stesso comportamento. La regola

f(x)>0

è quella di riferimento quando l'esponente è una vera funzione reale variabile e si vuole la definizione continua tramite logaritmo.

10Livello avanzato

Funzioni composte e miste

È qui che il metodo dei vincoli mostra tutta la sua utilità.

\boxed{D=\bigcap_i D_i}

Composizione

Per $f\circ g$ non basta che $x\in D_g$ : serve anche che $g(x)\in D_f$ .

\displaystyle D_{f\circ g}=\{x\in D_g:g(x)\in D_f\}

Regola pratica

Parti dalle operazioni più esterne, traduci ogni necessità in una condizione sull'argomento e prosegui verso l'interno.

Esempio completo

$\displaystyle f(x)=\sqrt{\log_2\!\left(\frac{x-1}{x+3}\right)}$

La radice quadrata richiede $\displaystyle \log_2\!\left(\frac{x-1}{x+3}\right)\ge0$ .
Poiché la base $2>1$ , $\log_2 u\ge0\iff u\ge1$ .
Quindi $\displaystyle \frac{x-1}{x+3}\ge1$ , con $x\ne-3$ .
$\displaystyle \frac{x-1-(x+3)}{x+3}\ge0\Rightarrow \frac{-4}{x+3}\ge0$ .
Il numeratore è negativo, quindi serve $x+3<0\Rightarrow x<-3$ .
$\displaystyle D_f=(-\infty,-3)$ .

Laboratorio · Diagnosi

Costruttore dei vincoli

Non risolve automaticamente la funzione: ti allena a riconoscere quali condizioni devi scrivere.

Checklist generata

I tuoi vincoli

Seleziona almeno una struttura a sinistra.

Alla fine $\displaystyle D_f=D_1\cap D_2\cap\cdots$ Interseca tutte le soluzioni ottenute.

Laboratorio · Allenamento adattivo

Allenati a riconoscere il dominio

Scegli il livello. La soluzione compare solo dopo il tuo tentativo.

1 / 1

Laboratorio · Ragionamento guidato

Tutor del dominio

Non indovinare la risposta: costruiscila. Prima riconosci le strutture che generano vincoli, poi scegli il dominio e infine confronta il tuo ragionamento con lo svolgimento completo.

Caso guidato

1 / 8

Riconosci i vincoliSeleziona tutte e sole le strutture presenti.

Determina il dominioOra risolvi le condizioni e scegli il risultato corretto.

Laboratorio · Correzione ragionata

Correttore passo-passo

Correggi la scheda appena generata oppure inserisci il codice stampato accanto a un singolo esercizio. Ogni soluzione esplicita vincoli, risoluzione e dominio finale.

Cerca per codice esercizio

I codici non cambiano: puoi usare il correttore anche dopo aver chiuso la scheda.

PDF = compilazione del correttore .tex. Il PDF viene prodotto da pdflatex usando esattamente il sorgente scaricabile qui sopra. La compilazione usa LaTeX.Online e richiede Internet.

DominioLab · Correttore

Soluzioni della scheda corrente

SOLUZIONI

Autovalutazione

Verifica finale

10 quesiti. Una risposta per domanda. Al termine ricevi punteggio, correzione e indicazioni su cosa ripassare.

Risorsa da conservare

Dominio in uno sguardo

Una scheda A4 orizzontale con tutte le condizioni fondamentali, il caso delle potenze $y=[f(x)]^{g(x)}$ , esempi lampo e checklist finale.

Scarica il PDF Scarica il sorgente LaTeX (.tex)

Mappa finale

Il dominio in uno sguardo

Polinomio $y=P(x)$ $\mathbb R$

Frazione $y=\frac{P(x)}{Q(x)}$ $Q(x)\ne0$

Radice pari $y=\sqrt[2k]{g(x)}$ $g(x)\ge0$

Radice pari al denominatore $y=\frac1{\sqrt[2k]{g(x)}}$ $g(x)>0$

Logaritmo $y=\log_a(g(x))$ $g(x)>0$

Tangente $y=\tan(g(x))$ $\cos(g(x))\ne0$

Cotangente $y=\cot(g(x))$ $\sin(g(x))\ne0$

Arcoseno/arcocoseno $y=\arcsin(g(x)),\arccos(g(x))$ $-1\le g(x)\le1$

Potenza variabile $y=[f(x)]^{g(x)}$ in generale $f(x)>0$ , oltre a $D_f\cap D_g$

Prima di studiare una funzione, scopri dove esiste.

Classificazione delle funzioni

Funzioni algebriche

Funzioni trascendenti

Il metodo universale in 5 passi

Scomponi la struttura

Scrivi ogni vincolo

Risolvi le condizioni

Interseca

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Polinomiali

Regola

Errore tipico

Razionali fratte

Forma generale

Semplificare non restituisce i punti esclusi

Radicali

Indice pari

Indice dispari

Radice pari al denominatore

Logaritmiche

Condizione di esistenza

Se il logaritmo è al denominatore

Esponenziali

Esponente reale

Non inventare vincoli

Goniometriche

Goniometriche inverse

Arcoseno

Arcocoseno

Arcotangente

Valore assoluto e funzioni definite a tratti

Valore assoluto

Funzioni a tratti

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