I numeri razionali sono numerabili?

Una delle prime scoperte del matematico Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (nato il 3 marzo 1845 a Pietroburo e morto ad Halle in Germania il 6 gennaio 1918), nella sua analisi dell’infinito, fu che la classe dei numeri razionali (insieme Q, che contiene la classe dei numeri naturali o interi come sua sottoclasse, ed è perciò essa stessa infinita) è equivalente alla classe dei numeri interi.

A prima vista sembra molto strano che la classe Q, che è densa, possa essere sullo stesso piano della sottoclasse dei numeri interi, distribuiti in ordine sparso. In verità, non si possono disporre in ordine di grandezza i numeri razionali positivi (come invece si può fare per i numeri interi) dicendo che a è il primo numero razionale, b il seguente in grandezza e così via, perché tra due qualsiasi numeri razionali assegnati ce ne sono infiniti e perciò non esiste un numero razionale “seguente a” in grandezza. Read more

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Algoritmo euclideo delle divisioni successive

Il matematico greco Euclide (323 a.C. – 285 a.C.) è stato il più importante studioso della storia antica. Egli è noto per i suoi Elementi, un’importantissima opera costituita da 13 libri. Il matematico fu chiamato da Tolomeo I ad Alessandria d’Egitto per operare all’interno della più grande e famosa Biblioteca del mondo antico.

All’interno dei suoi Elementi, Euclide presenta due metodi per il calcolo del M.C.D. di due numeri. Uno di questi due metodi si basa sulle cosiddette “divisioni successive”,  grazie all’esistenza del seguente:  Read more

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