Il Safety Tutor e il teorema di Lagrange

Il Safety Tutor è un sistema di controllo della velocità utilizzato nelle autostrade italiane a partire dal 2004. Esso permette di stabilire se un automobilista ha superato o meno, grazie all’uso di due centrali di rilevamento molto distanti tra loro, la velocità massima consentita in quel tratto autostradale. Per fare ciò, il sistema utilizza un noto teorema del calcolo differenziale: il teorema di Lagrange.

Se f(x) è una funzione continua in un intervallo [a; b] ed è derivabile nell’intervallo (a; b), il teorema di Lagrange assicura l’esistenza di un punto c interno nell’intervallo (a; b) tale che:

\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\]

Se la funzione f considerata esprime lo spazio percorso dall’automobile in funzione del tempo, il suddetto rapporto indica la velocità media dell’automobile nell’intervallo di tempo [a; b] e, inoltre, la funzione’(t) rappresenta la velocità istantanea.

Per il teorema di Lagrange esisterà quindi almeno un istante c interno all’intervallo considerato in cui la velocità istantanea sarà uguale alla velocità media considerata. Di conseguenza, se il tratto di autostrada è stato attraversato con una velocità media superiore al valore della velocità massima consentita, ci sarà sicuramente stato un istante di tempo in cui la velocità limite è stata superata.

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